Каталог по темам

Задачи

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 258]

Задача 110069

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32116

Темы:	[	Неравенства с углами	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Пусть a, b, c – длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что aα + bβ + cγ ≥ aβ + bγ + cα.

Прислать комментарий Решение

Задача 65478

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Около единичного квадрата ABCD описана окружность, на которой выбрана точка М.
Какое наибольшее значение может принимать произведение MA·MB·MC·MD?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65821

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Филимонов В.П., Погребняк В.

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение S_DEF : S_ABC а) больше 1; б) не меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98440

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Злобин С.А.

Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых числа x³ + y и x + y³ делятся на x² + y².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 258]