Каталог по темам

Задачи

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 603]

Задача 64704

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Прокопенко Д.

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что ∠PDA = ∠AED.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64975

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кеян Д.

В треугольнике ABC ∠B = 2∠C. Точки P и Q на серединном перпендикуляре к стороне CB таковы, что ∠CAP = ∠PAQ = ∠QAB = ⅓ ∠A.
Докажите, что Q – центр описанной окружности треугольника CPB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65824

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8

Автор: Богданов И.И.

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AD = BC. Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66240

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Авторы: Руденко А., Хилько Д.

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66261

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ω_A треугольника BHC взята точка X_A, что AH = AX_A и H ≠ X_A. Аналогично определены точки X_B и X_C. Докажите, что треугольник X_AX_BX_C и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 603]