Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.
Докажите, что биссектрисы углов выпуклого
четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
ортогональны тогда и только тогда, когда
d2 = R12 + R22.
Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2
касаются в точке A. Через точку A проведена прямая,
пересекающая S1 в точке A1 и S2 в точке A2. Докажите,
что
O1A1 || O2A2.
Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?
Известно, что . Какие значения может принимать выражение
?
Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 499]
Задача 30621 |
|
|
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
|
|
Решение |
Задача 30622 |
|
|
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
|
|
|
Решение |
Задача 35248 |
|
|
Докажите, что произведение цифр любого натурального числа, большего 9, меньше самого числа.
|
|
|
Решение |
Задача 65953 |
|
|
Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?
|
|
Решение |
Задача 78698 |
|
|
Найти все натуральные числа x, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа x можно вычесть одну и ту же цифру a ≠ 0 (все цифры его не меньше a) и при этом получится (x − a)².
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 499]
