Страница:
<< 52 53 54 55 56 57 58 [Всего задач: 289]
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена биссектриса CL. Докажите, что CL < 2BL.
Можно ли разрезать треугольник на три выпуклых многоугольника с попарно различным количеством сторон?
В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
Страница:
<< 52 53 54 55 56 57 58 [Всего задач: 289]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Геометрические неравенства
>>
Неравенство треугольника
Решение 
