Каталог по темам

Задачи

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 329]

Задача 66309

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111711

Темы:	[	Концентрические окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A . Пусть B — произвольная точка одной из этих окружностей, C — другой. Для каждого треугольника ABC рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K , причем одна окружность касается прямой AB в точке B , а другая — прямой AC в точке C . Найдите ГМТ K .

Прислать комментарий Решение

Задача 53145

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 57868

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Равные окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A₁ и A₂. Произвольная точка C окружности S соединена отрезками с точками A₁ и A₂. Эти отрезки пересекают S₁ и S₂ в точках B₁ и B₂. Докажите, что A₁A₂| B₁B₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 66683

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Креков Д.

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 329]