Каталог по темам

Задачи

Страница: << 247 248 249 250 251 252 253 >> [Всего задач: 1308]

Задача 110004

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Игонин С.

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 61424

[Неравенство Мюрхеда]

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пусть α = (α₁, ..., α_n) и β = (β₁, ..., β_n) – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если α ≠ β, то при всех неотрицательных x₁, ..., x_n выполняется неравенство T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66710

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Митрофанов И.В.

Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди?

Прислать комментарий

Решение

Задача 86117

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Раскраски	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Аффинная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Конягин С.В.

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109194

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 247 248 249 250 251 252 253 >> [Всего задач: 1308]