Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки  conv X  и  conv Y  имеют поровну вершин.

   Решение

---

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где  $n$ > 1,  требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, – в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно?

   Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66154

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66704

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На улице дома стоят друг напротив друга, всего 50 пар. На правой стороне улицы расположены дома с чётными натуральными номерами, на левой – с нечётными натуральными номерами, номера возрастают от начала улицы к концу на каждой стороне, но идут не обязательно подряд (возможны пропуски). Для каждого дома на правой стороне улицы нашли разность между его номером и номером дома напротив, и оказалось, что все найденные числа различны. Наибольший номер дома на улице равен $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66749

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где  $n$ > 1,  требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, – в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67149

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73621

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями