Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.

   Решение

---

На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает её либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя.

   Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 162]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98071

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98299

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.
в) Найдите для каждого n такое наименьшее  k = k(n),  что к каждому n-значному числу можно приписать еще k цифр так, чтобы полученное (n+k)-значное число было полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116027

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На шахматной доске 8×8 стоит кубик (нижняя грань совпадает с одной из клеток доски). Его прокатили по доске, перекатывая через рёбра, так, что кубик побывал на всех клетках (на некоторых, возможно, несколько раз). Могло ли случиться, что одна из его граней ни разу не лежала на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65516

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66845

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает её либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 162]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями