Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что

а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;

б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66998

Темы:   [ Окружности на сфере ] [ Сферическая геометрия и телесные углы ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109601

Темы:   [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Сферы (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66912

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Окружности на сфере ] [ Сферы (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что

а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;

б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98264

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110086

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями