Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 36]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
На каждом из 12 рёбер куба отметили его середину. Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки, если известно, что она проходит
а) через какие-то 6 из отмеченных точек;
б) через какие-то 7 из отмеченных точек?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$.
Докажите, что
а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;
б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 36]
Фильтр
Решение 
