ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если для чисел p1, p2, q1 и q2 выполнено неравенство  (q1q2)² + (p1p2)(p1q2p2q1) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p1x + q1  и  x² + p2x + q2  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



Задача 73641

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p1, p2, q1 и q2 выполнено неравенство  (q1q2)² + (p1p2)(p1q2p2q1) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p1x + q1  и  x² + p2x + q2  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73562

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Если сумма дробей     равна 0, то сумма дробей     тоже равна 0. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61270

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Кубические многочлены ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109759

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  P² + Q² = R².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ]
[ Производная в точке ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f1(x) = x + 1/x,   f2(x) = x²,   f3(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f1,  f2,  f3, то получить 1/x невозможно.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .