Каталог по темам

Задачи

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1371]

Задача 73710

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 76495

Тема:

[

Разные задачи на разрезания

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 76548

Тема:

[

Системы точек и отрезков (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Расположите (На плоскости — прим. ред.) 4 точки так, чтобы при измерении всех попарных расстояний между ними получалось только два различных числа. Отыщите все такие расположения.

Прислать комментарий Решение

Задача 78612

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Объем круглых тел	]
	[	Неравенства с объемами	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Прислать комментарий Решение

Задача 109510

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Августинович С., Фон-дер-Флаас Д.

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1371]