Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

   Решение

---

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  x₁, ..., x₂₀₁₁  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  y₁, ..., y₂₀₁₁  кг цемента соответственно, причём
x₁ + x₂ + ... + x₂₀₁₁ = y₁ + y₂ + ... + y₂₀₁₁. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел x_i и y_i и любой схеме дорог?

   Решение

---

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+3)7-7x на отрезке [-2,5;0] .

   Решение

---

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67412

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Для какого наибольшего $N$ существует $N$-значное число со свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73683

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Последовательность  x₀, x₁, x₂, ...  определена следующими условиями:  x₀ = 1,  x₁ = λ,  для любого  n > 1  выполнено равенство

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73732

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Полуинварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73806

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76447

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями