Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109742

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 110090

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 56846

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 8+
Классы: 9,10,11

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 73810

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Условная сходимость	]

Сложность: 9
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий Решение

Задача 97902

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Векторы (прочее)	]
	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]