Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
|
|
Сложность: 7 Классы: 10,11
|
Иррациональность числа
e. Число
e определяется равенством
e =
![$ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$](show_document.php?id=618057)
![$ \left(\vphantom{1+\dfrac1n}\right.$](show_document.php?id=618054)
1 +
![$ {\dfrac{1}{n}}$](show_document.php?id=618055)
![$ \left.\vphantom{1+\dfrac1n}\right)^{n}_{}$](show_document.php?id=618056)
.
Докажите,
что
а)
e =
![$ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$](show_document.php?id=618057)
![$ \left(\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right.$](show_document.php?id=618058)
2 +
![$ {\dfrac{1}{2!}}$](show_document.php?id=618063)
+
![$ {\dfrac{1}{3!}}$](show_document.php?id=618064)
+...+
![$ {\dfrac{1}{n!}}$](show_document.php?id=618065)
![$ \left.\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right)$](show_document.php?id=618062)
;
б)
e = 2 +
![$ {\dfrac{1}{2!}}$](show_document.php?id=618063)
+
![$ {\dfrac{1}{3!}}$](show_document.php?id=618064)
+...+
![$ {\dfrac{1}{n!}}$](show_document.php?id=618065)
+
rn, где
0 <
rn
![$ {\dfrac{1}{n!\,n}}$](show_document.php?id=618067)
;
в)
e — иррациональное число.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Что больше: 300! или 100300?
[Формула Эйлера]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством
Докажите формулу Эйлера:
ea+ib = ea(cos b + i sin b).
[Число e и комбинаторика]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше n/2?
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]