В треугольнике ABC, площадь которого равна 1, на медиане BK взята точка M, причём  MK = ¼ BK.  Прямая AM пересекает сторону BC в точке L.
Найдите площадь треугольника ALC.

   Решение

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и образует с плоскостью основания угол 60^o .

   Решение

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

   Решение

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

   Решение

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Через $I$ проведена прямая $l\perp BI$. Оказалось, что $l$ пересекает $I_AA'$ в точке $K$, лежащей на средней линии, параллельной $BC$. Докажите, что $\angle B\leq 60^{\circ}$.

   Решение

Доказать, что квадрат любого простого числа  p > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

   Решение

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

   Решение

Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A.

   Решение

Решить уравнение:

   Решение

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 367]      

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |x| + |y| < 100?

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Прислать комментарий

Решение

Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Решить в натуральных числах уравнение  x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Прислать комментарий

Решение

Найти все пары целых чисел  (x, y),  удовлетворяющих уравнению  x² = y² + 2y + 13.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 367]