Каталог по темам

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 590]

Задача 78561

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78563

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].

Прислать комментарий

Решение

Задача 78657

Тема:

[

Линейные неравенства и системы неравенств

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям x₁ = 1, 0 ≤ x₁ ≤ 2x₁, 0 ≤ x₃ ≤ 2x₂, ..., 0 ≤ x₉₉ ≤ 2x₉₈, 0 ≤ x₁₀₀ ≤ 2x₉₉, так, чтобы выражение
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ + ... + x₉₉ – x₁₀₀ было максимально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78667

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 11

По заданной последовательности положительных чисел q₁,..., q_n, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f₀(x) = 1,
f₁(x) = x,
...
f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78700

Тема:

[

Линейные неравенства и системы неравенств

]

Сложность: 3+
Классы: 10

Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 590]