Страница:
<< 131 132 133 134
135 136 137 >> [Всего задач: 1006]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Из первых k простых чисел 2, 3, 5, ..., pk (k > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5,
3·7·... ·pk, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что S + 1 разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе
проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах
было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было
восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено
одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать
из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в
любую другую точку.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа.
Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и
увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций
добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся
сделать?
В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983.
Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно любой оси симметрии?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём
объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов.
Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств?
Страница:
<< 131 132 133 134
135 136 137 >> [Всего задач: 1006]
Фильтр
Решение 
