Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или
когда-нибудь он обязательно прекратится?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток,
как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет
сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа n, n + 1, ..., n + 8. При каких n он сможет это сделать?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
a) хотя бы один орех будет съеден;
б) все орехи не будут съедены.
Несколько стеклянных шариков разложено в три кучки. Мальчик, располагающий
неограниченным запасом шариков, может за один ход взять по одному шарику из
каждой кучки или же добавить из своего запаса в одну из кучек столько шариков,
сколько в ней уже есть. Доказать, что за несколько ходов мальчик может добиться
того, что в каждой кучке не останется ни одного шарика.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных по порядку: 1, 2, 3, ... Кассирша продала билеты на первые m мест, но на некоторые места она продала не один билет, и общее число проданных билетов n > m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя к месту, указанному на его билете, занимает его, если оно свободно, а если оно занято, говорит "Ох!" и идёт к следующему по номеру месту. Если оно свободно, то занимает его, если же занято, снова говорит "Ох!" и двигается дальше – до первого свободного места. Докажите, что общее количество "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
Решение
