Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Делимость чисел. Общие свойства
Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?
Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а Oa, Ob – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка OaOb лежит на прямой AB.
Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному
разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.
Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом взяла все чёрные шашки, включая две первоначально стоявшие?
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба
поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом 9 : 5. Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Туниса.
Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.
Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для
приближённого нахождения корней многочлена f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
а) x0 = 1; б) x0 = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.
Докажите, что если стороны пятиугольника в порядке обхода равны 4, 6, 8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной окружности.
На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рис.1, то сумма отмеченных дуг AK, CK и EK равна 180o.
Каждая грань прямоугольного параллелепипеда 3×4×5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем параллелепипед, равнялась 120?
В круге отметили точку. Разрежьте круг на а) три; б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре.
Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра – треугольник со сторонами a , b , c . Найдите объём тетраэдра.
На землю положили квадратную раму, в центре квадрата установили вертикальный шест. Когда на эту конструкцию сверху натянули ткань, получилась маленькая палатка. Если положить рядом вплотную две таких же рамы, в центре каждой поставить вертикальный шест той же длины и натянуть сверху ткань, получится большая палатка. На маленькую палатку ушло 4 квадратных метра ткани. А сколько ткани потребуется для большой палатки?
Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен
. Точки E и F являются серединами
отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна
прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что
AB = 2
, CD = 2
, EF =
.
Даны две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Произвольная прямая $l$, проходящая через $Q$, повторно пересекает окружности в точках $A$ и $B$. Прямые, касающиеся окружностей в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, а биссектриса угла $CPQ$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что все точки $D$, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую $l$, лежат на одной окружности.
Как вы думаете, среди четырёх последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться а) на 2? б) на 3? в) на 4? г) на 5?
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 420]
Задача 30359 |
|
|
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
|
|
Решение |
Задача 88027 |
|
|
Как вы думаете, среди четырёх последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться а) на 2? б) на 3? в) на 4? г) на 5?
|
|
Решение |
Задача 88046 |
|
|
На затонувшей каравелле XIV века были найдены шесть мешков с золотыми монетами. В первых четырёх мешках оказалось по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставшихся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?
|
|
|
Решение |
Задача 88069 |
|
|
Известно, что p > 3 и p – простое число. Как вы думаете:
а) будут ли чётными числа p + 1 и p – 1;
б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?
|
|
|
Решение |
Задача 88154 |
|
|
Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 420]
