Версия для печати
Убрать все задачи

---

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников A, B, C не нашлось трёх судей, один из которых считает, что A – лучший из трёх, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.

   Решение

---

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103826

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2- Классы: 6

Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88092

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88262

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Можно ли выложить в ряд все 28 косточек домино согласно правилам игры так, чтобы на одном конце ряда оказалось 5, а на другом 6 очков?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34899

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 2+

Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32036

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Куб ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до 6. Вася кубика не видел, но утверждает, что

а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны соседние числа;

б) таких пар соседних граней у кубика не меньше двух.

Прав ли он в обоих случаях? Почему?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями