Версия для печати
Убрать все задачи

---

У числа 2¹⁹⁷⁰ зачеркнули его первую цифру и прибавили её к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор пока не получили десятизначное число. Доказать, что в этом числе есть две одинаковые цифры.

   Решение

---

Пусть A , B , C и D – четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что отрезок, соединяющий середины AB и CD , пересекается с отрезком, соединяющим середины AD и BC . При этом каждый из указанных отрезков делится точкой пересечения пополам.

   Решение

---

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство  

   Решение

---

Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из оснований. Найдите объём цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии друг от друга.

   Решение

---

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).
Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 86495

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97831

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).
Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98064

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Доска 100×100 разбита на 10000 единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты – по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116029

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Концы N хорд разделили окружность на 2N дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины.
Докажите, что число N чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116065

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.
Какова площадь поверхности невидимого бруска?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 161]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями