Каталог по темам

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 178]

Задача 60303

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных n > 1:

Прислать комментарий

Решение

Задача 97861

Темы:	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Найти все решения системы уравнений: (x + y)³ = z, (y + z)³ = x, (z + x)³ = y.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105127

Темы:	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Сендеров В.А.

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66160

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78178

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 178]