ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a1, a2, a3, ..., an.  Берётся сумма  S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a1, a2, a3, ..., an)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

   Решение

Задачи

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 1006]      



Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Полуинварианты ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a1, a2, a3, ..., an.  Берётся сумма  S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a1, a2, a3, ..., an)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98270

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98441

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98500

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 104033

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

На столе лежат несколько тонких спичек одинаковой длины. Всегда ли можно раскрасить их концы  а) в 2,   б) в 3 цвета так, чтобы два конца каждой спички были разных цветов, а каждые два касающихся конца (разных спичек) – одного и того же цвета?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 1006]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .