Страница:
<< 1 2
3 4 >> [Всего задач: 16]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
AB и
A1B1 — два скрещивающихся отрезка.
O и
O1 — соответственно
их середины. Докажите, что отрезок
OO1 меньше полусуммы отрезков
AA1 и
BB1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Через центр единичного куба проведена плоскость, не проходящая
через ребро куба и делящая куб на два многогранника. Докажите, что в
каждом из получившихся многогранников найдётся диагональ, длина
которой не меньше
.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?
б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).
в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В пространстве даны точка
O и
n попарно непараллельных прямых. Точка
O
ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек
снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий
все точки, которые могут быть получены таким образом?
Страница:
<< 1 2
3 4 >> [Всего задач: 16]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Стереометрия
>>
Геометрические неравенства
>>
Длины и периметры (геометрические неравенства)
Решение 
