Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. На её меньших дугах BC , AC и AB взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно. Точки A2 , B2 и C2 – ортоцентры треугольников соответственно BA1C , AB1C и AC1B . Докажите, что описанные окружности треугольников BA2C , AB2C и AC2B пересекаются в одной точке.

   Решение

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

   Решение

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 81]      

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.

Прислать комментарий

Решение

Для какого наибольшего $N$ существует $N$-значное число со свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?

Прислать комментарий

Решение

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Прислать комментарий

Решение

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

Прислать комментарий

Решение

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 81]