Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 >> [Всего задач: 21756]

Задача 58486

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Хорда PQ окружности x² + y² = a² + b² с центром O касается эллипса ${\dfrac{x^2}{a^2}}$ + ${\dfrac{y^2}{b^2}}$ = 1. Докажите, что прямые PO и QO содержат сопряженные диаметры эллипса.

Прислать комментарий Решение

Задача 58487

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.

Прислать комментарий Решение

Задача 58488

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Нормаль к эллипсу в точке A пересекает малую полуось в точке Q, P — проекция центра эллипса на нормаль. Докажите, что AP^.AQ = a², где a — большая полуось.

Прислать комментарий Решение

Задача 58490

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 58491

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Из точки O проведены касательные OP и OQ к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что

$\displaystyle \angle$ POQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ PF₁O + $\displaystyle \angle$ PF₂O).

б) Отрезок AB виден из фокусов F₁ и F₂ под углами $\varphi_{1}^{}$ и $\varphi_{2}^{}$ , соответственно. Докажите, что $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = α + β (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 >> [Всего задач: 21756]