Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 >> [Всего задач: 21756]

Задача 58549

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены равнобедренные треугольники AC₁B, BA₁C, AB₁C с углом при основании $\varphi$ (все три внешним или внутренним образом одновременно). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта.
Замечание. На гиперболе Киперта лежат следующие точки: ортоцентр ( $\varphi$ = $\pi$ /2), центр масс ( $\varphi$ = 0), точки Торричелли ( $\varphi$ = ± $\pi$ /3), вершины треугольника ( $\varphi$ = - $\alpha$ , - $\beta$ , - $\gamma$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 58550

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Найдите уравнение центра гиперболы Киперта: а) в трилинейных координатах; б) в барицентрических координатах.

Прислать комментарий Решение

Задача 60276

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
Темы:	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть a₀, a₁, ..., a_n, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T a_n+T = a_n (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60277

Тема:

[

Индукция (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $\leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $\geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60279

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 >> [Всего задач: 21756]