Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  
+
+
> x + y + z.
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9
|
На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске:
первый – знак + или
- , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают
по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце
игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой
наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что
f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Дана функция
f(
x)
= | 4
- 4
|x|| - 2
. Сколько решений имеет уравнение
f(
f(
x))
= x ?
|
|
Сложность: 6- Классы: 10,11
|
Даны числа
а1, ...,
аn.
Для 1 ≤
i ≤
n положим
di = MAX { aj | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { aj | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { di | 1 ≤ i ≤ n }
а) Доказать, что для любых
x1 ≤
x2 ≤ ... ≤
xn
выполняется неравенство
MAX { |xi - ai| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.
б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {
xi}
i=1...
n
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]