Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 87]
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на
окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут
быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются
дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав
от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть fij означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство f14f23 ≥ f13f24.
б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6
(по кругу в этом порядке), то
f16f25f34 +
f15f24f36 +
f14f26f35 ≥
f16f24f35 +
f15f26f34 +
f14f25f36.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Для чисел 1, ..., 1999, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд.
Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?
На хоккейном поле лежат три шайбы
А,
В и
С.
Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими.
Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 87]