Каталог по темам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 95]

Задача 78675

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Две прямые на плоскости пересекаются под углом $\alpha$ . На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол $\alpha$ измеряется рациональным числом градусов.

Прислать комментарий Решение

Задача 73620

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Васерштейн Л.Н.

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма не равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56876

Темы:	[	Целочисленные треугольники	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 57660

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

Прислать комментарий Решение

Задача 86505

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите все значения а, для которых выражения а + и ¹/_а – принимают целые значения.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 95]