Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73737

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98215

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Обратный ход ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:  x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
  б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73774

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Итерации ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Теорема Эйлера ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ...,  где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
  а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
  б) точка C_n совпадает с C?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78659

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Площадь трапеции ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли четырёхугольник ABCD площади 1 такой, что для любой точки O внутри него площадь хотя бы одного из треугольников OAB, OBC, OCD, DOA иррациональна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98027

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Метод спуска ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 95]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями