Каталог по темам

Задачи

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 93]

Задача 109784

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Последовательность натуральных чисел a_n строится следующим образом: a₀ – некоторое натуральное число; a_n+1 = ⅕ a_n, если a_n делится на 5;
a_n+1 = [ a_n], если a_n не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность a_n возрастает.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105088

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Доценко В.В.

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n}) разрешается получать последовательности {b_n + c_n},
{b_n – c_n}, {b_nc_n} и {^b_n/_{c_n}} (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) a_n = n²;

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 77898

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Прислать комментарий Решение

Задача 98320

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109753

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 93]