Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Докажите, что a > 0, b > 0 и c > 0.

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Известно, что a + b + c = 0, a² + b² + c² = 1. Найдите a⁴ + b⁴ + c⁴.

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x³ + x² – 2x – 1.

Темы:	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Решите системы:

а)

б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3;

в) x² + y² + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy;

г)

д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x³ + y³ + z³ = 1;

е) x² + y² = 12, x + y + xy = 9.

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]