Страница:
<< 65 66 67 68
69 70 71 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
|
[Дискриминант кубического уравнения]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пусть уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения D = (x1 – x2)²(x² – x3)²(x3 – x1)².
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
|
[Метод Лобачевского]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 имеет корни x1, x2, ..., xn, причем |x1| > |x2| > ... > |xn|. В задаче 60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа 
На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов P0(x), P1(x), P2(x), ..., что P0(x) = P(x) и многочлен Pk(x) имеет корни
Пусть 
Докажите, что
а) 
б) 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m
существует единственный многочлен Q(x) степени m + 1 , для которого ΔQ(x) = P(x) и Q(0) = 0.
Страница:
<< 65 66 67 68
69 70 71 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
