Каталог по темам

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 418]

Задача 66712

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Прислать комментарий Решение

Задача 67463

Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
Темы:	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.

Прислать комментарий Решение

Задача 76537

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Какой остаток даёт x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³ при делении на x – 1?

Прислать комментарий Решение

Задача 78502

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78663

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p и q – два простых числа, причём q = p + 2, то p^q + q^p делится на p + q.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 418]