Каталог по темам

Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 418]

Задача 111044

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида n^p – p не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60660

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Докажите, что число 1¹⁹⁹⁹ + 2¹⁹⁹⁹ + ... + 16¹⁹⁹⁹ делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98345

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Куб	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Объем тела равен сумме объемов его частей	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35392

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {a_n} определяется правилами: a₀ = 9, .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60663

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 7^{7^{7^7⁷}} – 7^{7^7⁷} делится на 10.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 418]