Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 418]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:
а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;
б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;
в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).
(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1} + b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a = b$?
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число
d = a1999 + b1999 + c1999.
Может ли случиться, что
а) d = 2?
б) d – простое число?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
Найдите какое-нибудь такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число будет полным квадратом.
Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 418]
Фильтр
