Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Найдите все значения параметра a, при которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 – 6x2 + ax + a удовлетворяют
равенству
(x1 – 3)3 + (x2 – 3)3 + (x3 – 3)3 = 0.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена
x3 + x2 – 2x – 1.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Известно, что x1, x2, x3 – корни уравнения x3 – 2x2 + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 – квадрат целого числа.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 10,11
|
Определение. Пусть α = (k, j, i) – набор целых неотрицательных чисел, k ≥ j ≥ i. Через Tα(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида xaybzc по всем шести перестановкам (a, b, c) набора (k, j, i).
Аналогично определяются многочлены Tα для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
Запишите через многочлены вида Tα неравенства
а) x4y + y4x ≥ x³y² + x²y³;
б) x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]
Фильтр
