Каталог по темам

Выбрано 6 задач

Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если a^m + b^m делится на aⁿ + bⁿ, то m делится на n.

Решение

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов e₁, e₂ — в данный базис e₁', e₂'.
б) Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A₁, B — в B₁, C — в C₁.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

Решение

Автор: Смирнов Олег

Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$ , описанная около сферы $\omega$ . Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$ , $OAB$ и $ABCDEF$ , пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$ ; аналогично определяются точки $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ , $E_1$ и $F_1$ . Пусть $\ell$ , $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$ , $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.

Решение

Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что $\angle$ BAH = $\angle$ OAC.

Решение

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
а) Какая последняя цифра этого числа?
б) Каковы десять последних цифр этого числа?

Решение

Петя написал на доске верное равенство: 35+10-41=42+12-50, а затем вычел из обеих частей по 4: 35+10-45=42+12-54. Он заметил, что в левой части равенства все числа делятся на 5, а в правой - на 6. Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил 5(7+2-9)=6(7+2-9). Сократив обе части на общий множитель, Петя получил, что 5=6. Где он ошибся?

Решение

Задача 73712

Задача 109565

Задача 108984

Задача 77887

Задача 79477