Страница:
<< 144 145 146 147
148 149 150 >> [Всего задач: 2468]
|
[Дружественные числа]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2k–1 – 1, q = 3·2k – 1 и r = 9·22k–1 – 1 – простые, то числа m = 2kpq и n = 2kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m ≥ 2 встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F5n+2 (n ≥ 0) содержит в своей десятичной записи не менее n + 1 цифры.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Город имеет форму квадрата 5×5:
Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место? (По каждой улице можно проходить любое число раз.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
а) Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали), побывав по одному разу на всех 64 клетках?
б) Тот же вопрос для коня.
Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
а) 8; б) 32 различных делителя.
Страница:
<< 144 145 146 147
148 149 150 >> [Всего задач: 2468]
Фильтр
