Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 632]      

n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов.
Доказать, что n делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что числа  H_n = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_n  при  n > 1  не будут целыми.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  n > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  ¹/_n, ²/_n, ..., ^n–1/_n  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  f(n). При каких натуральных  n > 1  числа  f(n) и  f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 632]