Каталог по темам

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 704]

Задача 78269

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a₁...	a_n	...
b₁...	b_n	...
c₁...	c_n	...

найдутся такие номера p и q, что

a_p $\displaystyle \ge$ a_q, b_p $\displaystyle \ge$ b_q, c_p $\displaystyle \ge$ c_q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78591

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Китайская теорема об остатках	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать, что те натуральные K, для которых K^K + 1 делится на 30, образуют арифметическую прогрессию. Найти её.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79475

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Частичные, верхние и нижние пределы	]

Сложность: 4-
Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Прислать комментарий Решение

Задача 85241

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите следующие равенства:

а)

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98038

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Толпыго А.К.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... . Может ли случиться, что при этом сумма ¹/_d₁ + ¹/_d₂ + ... + ¹/_{d_k} не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 704]