Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 593]      

Функция  f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число  f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение  f(αu + βv)  не превосходит хотя бы одного из чисел  f(u) или  f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.

Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

Прислать комментарий

Решение

а) Доказать, что для любых положительных чисел  x₁, x₂, ..., x_k  (k > 3)  выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого  k > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Графики функций  у = х² + ах + b  и  у = х² + сх + d  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  а⁵ + d⁶  и  c⁶ – b⁵.

Прислать комментарий

Решение

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 593]