Каталог по темам

Задачи

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 593]

Задача 31296

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

a) Решить в целых числах уравнение ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.
б) ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < 1 (a, b, c – натуральные числа). Доказать, что ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ⁴¹/₄₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32032

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32078

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32883

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Доказать, что
а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием);
б) из всех треугольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием).

Прислать комментарий

Решение

Задача 34918

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что при n > 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 593]