Каталог по темам

Задачи

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 593]

Задача 57534

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60420

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Какое слагаемое в разложении (1 + )¹⁰⁰ по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60620

[Теорема Валена]

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что если ^P_n/_{Q_n} (n ≥ 1) – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств или Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Прислать комментарий

Решение

Задача 60943

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что корни уравнения
а) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
б) c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64963

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

При каких значениях x и y верно равенство x² + (1 – y)² + (x – y)² = ⅓?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 593]