Каталог по темам

Задачи

Страница: << 95 96 97 98 99 100 101 >> [Всего задач: 593]

Задача 78178

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79363

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79487

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Системы алгебраических неравенств	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 88186

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Взвешивания	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 5,6,7,8

Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак; саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина; корзина и саквояж весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке убывания их веса.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98065

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Дано:

Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 95 96 97 98 99 100 101 >> [Всего задач: 593]