Каталог по темам

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]

Задача 111043

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$ . Докажите неравенство $\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57532

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61413

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Классические неравенства	]
	[	Неравенство Иенсена	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110197

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

Найдите все такие пары (x, y) натуральных чисел, что x + y = aⁿ, x² + y² = a^m для некоторых натуральных a, n, m.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67205

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Классические неравенства	]
	[	Степень вершины	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что { $\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$ }.

Например, для тетраэдра ( $\text{В}=4$ , $\text{Р}=6$ , $\text{Т}=3$ ) выполняется равенство, а для треугольной призмы ( $\text{В}=6$ , $\text{Р}=9$ , $\text{Т}=1$ ) или куба ( $\text{В}=8$ , $\text{Р}=12$ , $\text{Т}=0$ ) имеет место строгое неравенство.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 258]