Версия для печати
Убрать все задачи

---

На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.

   Решение

---

Кузнечик прыгает по прямой. В первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее.
Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73717

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если
  а) a, b и c – положительные числа, то  

  б) a, b, c и d – положительные числа,  

  в) a₁, ..., a_n – положительные числа  (n > 1),  то  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109697

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y⁴.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109763

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109897

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Замена переменных ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что если  0 < a, b < 1,  то  

.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110215

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что     и  x₁ + x₂ + ... + x₆ = 0.  Докажите, что x₁x₂...x₆ ≤ ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями