Страница:
<< 1 2 >> [Всего задач: 10]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую
точку с любой прямой?
Решение
Например, подходит функция f(x) = x³. Действительно, с вертикальной прямой x = a её график пересекается в точке (a, a³). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Уравнение x³ − kx − b = 0 имеет действительный корень. Следовательно, график функции f пересекается с прямой
y = kx + b.
Ответ
Существует.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Даны многочлен P(x) и такие числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, что a1a2a3 ≠ 0. Оказалось, что P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3) для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.
Решение
Предположим, что P(x) не имеет действительных корней. Тогда P(x) имеет чётную степень, не меньшую 2. Действительно, любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень, а если P(x) = const, то из условия получаем, что P(x) ≡ 0.
Так как P(x) не имеет действительных корней, то он принимает значения одного знака. Будем считать, что P(x) > 0 (иначе умножим его на –1). Поскольку P(x) имеет чётную степень, найдётся точка t0, в которой достигается (глобальный нестрогий) минимум P(x), то есть P(x) ≥ P(t0) = A > 0. Рассмотрим такое x0, что t0 = a3x0 + b3. Тогда P(a1x0 + b1) + P(a2x0 + b2) ≥ 2A > A = P(t0) = P(a3x0 + b3). Противоречие.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с
каждой плоскостью.
Подсказка
График многочлена нечётной степени на плоскости пересекается с любой прямой. Ищите нужную кривую в параметрическом виде.
Решение
Зададим кривую в параметрической форме: x = t, y = t³, z = t5, где t пробегает все действительные числа. Пусть Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение некоторой плоскости (здесь не все числа A, B, C одновременно равны нулю). Точка кривой, отвечающая параметру t, лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда
At + Bt3 + Ct5 + D = 0. Мы имеем уравнение пятой, третьей или первой степени относительно t (в зависимости от равенства нулю коэффициентов). Многочлен нечётной степени всегда имеет корень. Поэтому хотя бы одна точка пересечения кривой с плоскостью существует.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl
(0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ l ≤ n), что графики многочленов P(x) + axk и Q(x) + bxl не будут иметь общих точек.
Решение
Графики многочленов P(x) + axk и Q(x) + bxl не имеют общих точек тогда и только тогда, когда многочлен P(x) + axk – Q(x) – bxl не имеет корней. Иными словами, надо у многочлена R(x) = P(x) – Q(x) так изменить не больше двух коэффициентов, чтобы у получившегося многочлена не было корней.
Из любого многочлена R степени 0 или 1 можно сделать многочлен, тождественно равный 1.
Пусть n > 1. Если n нечётно, то нам "случайно" может достаться многочлен R(x) = xn + x. Тогда, с одной стороны, надо "убить" xn, так как многочлен нечётной степени всегда имеет корень, а с другой – добавить ненулевую константу a, чтобы не было нулевого корня. Но полученный многочлен x + a имеет корень.
Если n чётно, то, добавив, если надо, одночлен степени n, превратим R в многочлен чётной степени с положительным старшим коэффициентом. Такой многочлен имеет наименьшее значение M. Добавив константу 1 – M, получим положительный многочлен.
Ответ
n = 1 и все неотрицательные чётные n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Квадратные трёхчлены P(x) = x² + ax + b и Q(x) = x² + cx + d таковы, что уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) не имеет действительных корней.
Докажите, что b ≠ d .
Решение
Уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) имеет вид (x² + cx + d)² + a(x² + cx + d) + b = (x² + ax + b)² + c(x² + ax + b) + d ⇔ 2(c – a)x³ + lx² + mx + n = 0.
Поскольку полученное уравнение не имеет корней, то в левой части не может стоять многочлен третьей степени. Поэтому c = a. Если при этом ещё и
b = d, то P(x) = Q(x), и равенство P(Q(x)) = Q(P(x)) выполняется при всех x. Значит, b ≠ d.
Страница:
<< 1 2 >> [Всего задач: 10]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Многочлены
>>
Многочлен нечетной степени имеет действительный корень
